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Keine Frage - komplexe Zahlen lassen sich ordnen, bei Annahme des Auswahlaxioms sogar wohlordnen. Allerdings muss man bei der Verträglichkeit mit den Operationen gewisse Abstriche machen. Dharmendra Kumar Yadav hat damit aber kein großes Problem - er hat sich in “A new approach to ordering complex numbers.” [Int. J. Math. Sci. Eng. Appl. 2, No. 3, 211-223 (2008; Zbl 1188.00004)] mal jetzt so richtig gründliche Gedanken zum Thema gemacht und herausgefunden, dass man ja eigentlich nur den Betrag nehmen und hinreichend Unklarheit zwischen Äquivalenzklassen und Repräsentanten erzeugen muss, um die Sache genau wie bei den reellen Zahlen hinzubekommen.

Oder, um das Abstract zu zitieren:

In the present paper a new technique to ordering complex numbers have been discussed by applying the concepts of ordering real numbers on the real number line. The hidden property of ordering complex numbers in the extended complex plane and in its stereographic projection has been explained with its geometrical meaning in a little attempt. To order the complex numbers, a property named as D-law of trichotomy has been introduced with a very new concept of equi-radii complex numbers. This property has been derived from the law of trichotomy defined on the real numbers by making use of modulus of complex numbers.

Das vor nicht allzu langer Zeit gegründete  International Journal of Mathematical Sciences and Engineering Applications (IJMSEA), in dem der Artikel erschienen ist,  erfüllt sicher einige Klischees über Zeitschriften, die mit “International” anfangen. Die Explosion der mathematischen Zeitschriften auf dem Subkontinent im Vorfeld des ICM ist beachtlich und sicher auch Ergebnis einer entsprechenden politischen Förderung. Da ja auf diesem Felde ohnehin nur nackte Statistiken zählen, darf das starke Wachstum der Publikationszahlen als glänzender Erfolg für die Wissenschaftspolitik gelten, und vielleicht als etwas kleinerer für die Wissenschaft.

From Maelzel’s story, Barnum would learn one great lesson, a lesson that would help him to make his fortune. He would learn the importance of using royalty and the upper classes to build up and exploit an exhibit for the masses. He would also learn from Maelzel the means by which he could make Joice Heth an even bigger success in Boston.

In  The Fabulous Showman: The Life and Times of P.T. Barnum werden  Mechanismen des Showgeschäfts erklärt.  Dass manche inzwischen eingeschliffenen Mechanismen der Medien vielleicht ursprünglich auf die Vermarktung des “Schachautomaten” zurückgehen (Barnum hat in der Folge schließlich einen ganzen Berufszweig geprägt), ist freilich eine etwas gruselige Vorstellung.

Legt man die Riemannsche Definition des bestimmten Integrals zugrunde, so gibt es, wie Volterra gezeigt hat, nicht-integrable Derivierte. Das Fundamentalproblem der Integralrechnung, eine Funktion zu finden, deren Derivierte man kennt, läßt sich also durch Integration im  Riemannschen Sinne nicht immer lösen. Durch eine Verfeinerung der alten Erklärung des Integrals als eines Flächeninhalts ist es dem Verf. gelungen, einen Integralbegriff zu bilden, der diesen Übelstand beseitigt (wenigstens für den Fall, daß die Derivierte zwischen endlichen Grenzen liegt). Existiert das  Riemannsche Integral, so fällt das Lebesguesche mit ihm zusammen.

Die Grundlage der ganzen Arbeit ist mengentheoretisch. Es wird ein neuer Maßbegriff für Punktmengen eingeführt.

Hat man auf einer Geraden eine ganz im Endlichen gelegene Punktmenge E, so ist es auf unendlich viele Weisen möglich, ihre Punkte in eine endliche oder abzählbar unendliche Menge von Intervallen einzuschließen, die nicht übereinander greifen. Man bilde die Summen der Längen dieser Intervalle. Die untere Grenze aller derartigen Summen nennt Lebesgue das äußere Maß (mesure extérieure) von E und bezeichnet es mit m_e(E). Betrachtet man auf einer Strecke von der Länge l, die alle Punkte von E enthält, die nicht zu E gehörigen Punkte, so hat man eine Menge E₁. Die von der Wahl der Strecke unabhängige Zahl l - m_e (E₁) heißt das innere Maß (mesure intérieure) von E und wird mit m_i (E) bezeichnet. Es ist offenbar immer m_e >= m_i. Im Falle der Gleichheit heißt die Punktmenge E meßbar und  m(E)=m_e = m_i ihr Maß.

Hat man in der Ebene eine ganz im Endlichen gelegene Punktmenge, so lassen sich ihre Punkte auf unendlich viele Arten in eine (endliche oder abzählbare unendliche) Menge von Dreiecken einschließen, und es ergibt sich alsdann, ganz ähnlich wie oben, ein äußeres und ein inneres Maß für die Punktmenge. Im Falle der Gleichheit beider heißt die Menge meßbar und der gemeinsame Wert ihr Maß. Diese Definition der meßbaren Mengen läßt sich leicht auf einen Raum von beliebig vielen Dimensionen ausdehnen.

Das Integral ∫_a^b f(x)dx wird nun in folgender Weise erklärt: Man denke sich in jedem Punkt des Kurvenbogens y=f(x), a≦x≦b, die Ordinate gezeichnet und betrachte den Inbegriff E aller Punkte; die auf diesen Ordinaten liegen, d. h. die Punkte   x=a+ϑ(b-a),y=ϑ 1 f(x)(0≦ϑ,ϑ≦1).    Ist E eine meßbare Menge, so gilt dasselbe von der Menge E₁, aller Punkte von E mit positiver Ordinate, sowie von der Menge E₂  aller Punkte von E mit negativer Ordinate; es existieren also die Zahlen m(E₁), m(E₂), und Lebesgue setzt nun   ∫_a^b f(x)dx=m(E₁)-m(E₂).  f(x) nennt er eine summierbare Funktion (fonction sommable). Er entwickelt eine Reihe von Eigenschaften dieser Integrale. Der neue Integralbegriff läßt sich leicht auf Funktionen von mehreren Veränderlichen ausdehnen.

Bei der Definition der Begriffe “Bogenlänge” und “Inhalt einer krummen Fläche” wird eine möglichst vollkommene Analogie angestrebt. Die Länge einer Kurve C ist der unterste Häufungswert der Längen gleichmäßig nach C konvergierender polygonaler Linien, der Inhalt einer Fläche F der unterste Häufungswert der Inhalte gleichmäßig nach F konvergierender polyedraler Flächen. Es wird untersucht, wie weit der neue Integralbegriff die Darstellung dieser Größen ermöglicht.

In den letzten Kapiteln werden gewisse Modifikationen erörtert, welche infolge der neuen Definitionen in Sätzen der Flächentheorie eintreten. Nennt man z. B. eine Fläche abwickelbar, wenn sie sich derart auf die Ebene abbilden läßt, daß die Längen erhalten bleiben, so existieren, wie gezeigt wird, abwickelbare Flächen, die kein Geradenstück enthalten. Andererseits gibt es gewundene Kurven, die in jedem Punkt eine Schmiegungsebene haben, und deren Tangenten trotzdem eine nicht abwickelbare Fläche bilden. Flächen und Kurven sind dabei immer durch Funktionen dargestellt, die eine gewisse Zahl von Ableitungen besitzen.

Die seinerzeitige Jahrbuchbesprechung von Lebesgues “Intégrale, longueur, aire” [Annali di Mat. (3) 7, 231-359; auch sep. Thèse. Milan: Rebeschini. 129 S. (1902; JFM 33.0307.02)] fasst die wesentlichen Elemente der Jahrhundertarbeit zum Integrationsbegriff zusammen. Wenn nicht die Bolognareform dazwischen kommt und die Leute stellenweise wieder lebenslang zum Schulwissen des Riemann-Integrals verdammt, ist obige Herangehensweise immer noch der sinnvollste umfassende Integrationsbegriff - dessen ganze Eleganz sich wohl erst nach einiger Betrachtung erschließt. Hat eigentlich einmal jemand probiert, Integration gleich in der Schule so einzuführen?
(Dass die sich aufdrängende Frage, ob es denn nun auch Mengen gäbe, die nicht Lebesgue-meßbar sind, unbeantwortet bleibt, hat einen sehr guten Grund - dessen Beantwortung freilich warten musste, bis die Grundlagen der Mathematik aufholten).

When Helen graduated from Radcliffe in 1904, she bought an old farmhouse in Wrentham, Massachusetts, with the money she had earned from her book. Anne moved in with her and John was a constant visitor. During this time Anne and John fell in love, and in 1905 they got married. After the honeymoon, the couple returned to Wrentham to live with Helen.

Now the three lived as a family. John strung wires around the property so Helen could go for walks by herself, holding on to the wires so she would not get lost. They played chess, discussed the events of the day, entertained their many friends, and made plans for their future.

In Sandra H. Shichtmans Helen-Keller-Biographie Out of a Dark and Silent World steht in der Beschreibung des idyllischen Familienlebens Schach natürlich an erster Stelle.

In diesen Zeiten weiß man erst recht zu schätzen, was man an einem dezidierten Amateur-Spitzenspieler hatte, der sich nebenbei nicht nur über die Hochleistungsjahre hinweg in der erweiterten Weltspitze festsetzte, sondern auch noch  jenseits der 50  Top-Ergebnisse wie Johannesburg 1979 erreichte. Das folgende deutsch-deutsche  Match ist zwar nur eine kleine Fingerübung gegen einen aufstrebenden 18jährigen und keine seiner Spitzenpartien, entbehrt aber nicht einer gewissen Pikanterie.
Unzicker, W - Uhlmann, W
GER-ch 15th Leipzig (4), 1953

1.d4 e6 2.Sf3 f5 3.g3 Sf6 4.Lg2 Le7 5.c4 d5 6.0-0 0-0 7.b3 c6 8.La3 Lxa3 9.Sxa3 Sbd7 10.Dc1

Eine altbekannte Theoriestellung. Der Abtausch des “guten” schwarzen Läufers mit c1-a3 ist stellungsgemäß, aber etwas langsam - bei genauem Spiel kann Schwarz ausgleichen. Normalerweise kommt 10. Dc1 auf De7, aber auch so hat der Zug eine kleine Nebenfunktion. 10….De7 würde wieder zum Standard zurückführen, 10….Se4 sollte gut ausgleichen. 10…b6? Die Neuerung fand verständlicherweise keine Nachahmer. 11.cxd5 cxd5 12.Dc6 Es bricht schon einiges zusammen - im höheren Sinne ist es vorbei. 12….La6 13.Dxe6+ Kh8

14.Sg5?! Lässt allzu ehrgeizig wieder etwas Luft an die Sache - 14.Tfe1 sichert die zusammenhängende Bauernkette. 14…De8 15.Dxf5 De7? Schwarz muss sich 15…Dxe2 16.Tfe1 Dd2 trauen - er steht ohnehin fast verloren und riskiert nichts. 16.Sc2

Mit 16…g6 17.Dh3 Tae8 könnte Schwarz immer noch praktische Probleme stellen. 16…Se4?? Das gab es schon vor Kramnik. 17.Dxh7# 1-0

Eines der großen Schachtalente Ende des 20. Jahrhunderts, das leider durch frühzeitige Verengung auf wenige Stellungstypen und allzu ergebnisorientiertes Schach nicht zur vollen Entfaltung kam, und dessen Titeloptionen dann eher durch  Intrigen und Qualifikationen auf nichtsportlichem Wege gewahrt wurden. Schade drum - sehen wir uns also noch einmal eine denkwürdige Partie des jungen Talents Wladimir Borissowitsch an, bevor es durch Kramnik kaltgestellt wurde.

Kasparow,G - Kramnik,W
Dos Hermanas, 1996

1.d4 d5 2.c4 c6 3.Sc3 Sf6 4.Sf3 e6 5.e3 Sbd7 6.Ld3 dxc4 7.Lxc4 b5 8.Ld3 Lb7 9.0-0 a6 10.e4 c5 11.d5 c4 12.Lc2 Dc7 13.Sd4 Sc5 14.b4 cxb3 15.axb3 b4 16.Sa4 Scxe4 17.Lxe4 Sxe4 18.dxe6 Ld6 19.exf7+

Was waren das noch für Zeiten, als man solche Positionen in der Eröffnung sich grundsätzlich erstmal ohne Blechhilfe angeschaut hat!   19…Dxf7! Dem Bedenkzeitverbrauch nach am Brett gefunden (Schwarz 30 Minuten, Garik zog sein Repertoir bis dahin in 6 Minuten runter). Computer bevorzugen auch heute noch 19…Kxf7, was nach  20.Dh5+ g6 21.Dh3+/= sicher kleiner Nachteil wegen der Königsstellung ist. Der Textzug kalkuliert praktisch ein Figurenopfer ein und öffnet eine Quelle von kreativen Möglichkeiten. 20.f3 Dh5! Nicht 20…0-0? 21.fxe4 Dxf1+ 22.Dxf1 Lxh2+ 23.Kxh2 Txf1 24.Sc5 mit verlorenem Endspiel.  21.g3

Nur so - 21.fxe4? Dxh2+ 22.Kf2 0-0+ 23.Ke3 Dxg2 ist verloren, 21.h3 De5 22.f4 Df6=/+.  Jetzt ist der Fokus wieder auf der e-Linie. 21…0-0? Ein normaler Rückzug wie etwa 21….Sf6? 22. Te1+ ist natürlich schlecht, wie auch 21…Lxg3? 22.hxg3 Dh3 23.Lf4 usw. Die Idee des Opfers ist schön, sollte aber verlieren. Stellungsgemäß wäre das zu ungefährem Ausgleich führende 21…Sxg3! 22.hxg3 0-0!, wonach Weiß einiges finden muss:  23.Ta2! Lxg3 24.Tg2! Le5 25.Sc5 Tad8 26.Le3 Lc8! 27.f4! Dxd1 28.Txd1 Lxf4 29.Lxf4 Txf4 30.Tgd2+/= mit Springer gegen drei Bauern und leichtem Endspielvorteil (nach 30….Lg4? 31.Sc6! wäre dieser freilich sofort groß).  22.fxe4 Dh3

Man sieht ganz gut, warum der Springer besser auf g3 geopfert wäre. Trotzdem ist die Stellung alles andere als einfach. 23.Sf3? Naheliegend, vergibt aber schon die Siegstellung. 23.De2! Lxg3 24.Sf5 Le5 25.Lb2+- macht die Schotten dicht.  23…Lxg3 24.Sc5?

Kann das schlecht sein, den Abseitsspringer heranzuholen und den potentiell bedrohlichen Lb7 anzugreifen? Ja! Weiß hat die Zeit einfach nicht. 24.De2! hält das Gleichgewicht, mit phantastischen Varianten wie 24….Txf3 25.Txf3 Lxh2+ 26.Kf2! (26.Dxh2 Dxf3 27.Dg2=; 26.Kh1? Lxe4!-+) 26…Lg3+! 27.Txg3 Tf8+ 28.Tf3 Dh4+= 24…Txf3 25.Txf3? Der letzte Fehler. Mit dem coolen 25.Ta2! konnte sich Weiß noch Chancen bewahren: 25….Txf1+ 26.Dxf1 Dxf1+ 27.Kxf1 Analysediagramm

Wie sichert Schwarz die Figur? 27…Tc8! 28.Le3 Lf4! Nun hat Weiß die Wahl zwischen zwei schlechten Endspielen - 29.Lxf4 (29.Sxb7 Lxe3 30.Txa6 Tc3 31.Sa5 Lf4) 29…Txc5 25…Dxh2+ 26.Kf1 Lc6!

Der Läuferschwenk macht den Sack zu.  27.Lg5? Der Computer findet hier noch eine witzige Option zum Weiterspielen: 27.Ta5! Lc7! 28.Dd4! (28. Ta1 ist hoffnungslos) Lxa5 29.Lb2 Dh6 30.Th3 Tf8+ 31.Kg2 Df6 32.Dxf6 gxf6 33.Kf3 Lb6 34.Th5 a5  Analysediagramm

Und Schwarz sollte sich sicher durchsetzen, aber die mangelnde Koordination dürfte noch einen Bauern kosten. mit mindestens Schwindelchancen für Weiß. 27…Lb5+ 28.Sd3 Te8 29.Ta2

29…Dh1+ Verpasst in Zeitnot das sofortige Epaulettenmatt 29…Lxd3+ 30.Txd3 (30.Dxd3 Dh1+ 31.Ke2 De1#) 30…Dh1+ 31.Ke2 Dg2+ 32.Ke3 Txe4# 30.Ke2 Txe4+ 31.Kd2 Dg2+ 32.Kc1 Dxa2

Und Weiß bekommt die Figur nicht mehr zurück.  33.Txg3 Da1+ 34.Kc2 Dc3+ 35.Kb1 Td4

0-1

LADY MABEL:

What aileth thee, Margaret? what aileth thee, Margaret?
Hast let thy pitcher fall?
Say, what hast thou seen by the streamlet side–
A nymph or a water sprite–
That thou comest with eyes so wild and wide,
And with cheeks so ghostly white?

LITTLE MAID MARGARET

Nor nymph nor sprite, nor nymph nor sprite,
But the corpse of a slaughtered knight.

(Aus: Fauconshawe)

Vor nunmehr auch schon 15 Jahren (ja, wir sind inzwischen ganz schön alt geworden) hieß Lady Gaga noch Jeanne-Claude, und der Kunstersatz für die Massen war eine Menge Polypropylen umden Berliner Reichstag. Aber sonst war eigentlich alles gleich, auch das

Ausziehn, ausziehn . . .!

des “hochverehrten Publikums vor dem Reichstag.” Gut, letzteres nur in einer begleitenden Karikaturendarstellung  (weiteres dazu in damaligen Zeitzeugenbericht).  Nach angemessener Verjährungsfrist mag nun (schon zumal die Beteiligten auch langsam alt werden und womöglich verkalken) nun noch eine weitere (letzte?) Hülle jener sinnfreien Tage fallen: Passend und angemessen zur allseitigen Ausweitung des Kunstverständnisses, haben wir damals in jene Karikaturenausstellung auch eine Zeichnung meines (zu jener Zeit noch recht kindlichen) Neffen eingeschleust. Dass im Begleitdonner gleich die Rede war von

Mit von der Partie sind so prominente Zeichner wie Gerhard Haderer und Erich Rauschenbach, Till Teschke und Britta Dünnes

versteht sich in der Erfahrung des deutschen Qualitätsajournalismus von selbst.  Hieße man Papa Hegemann, hätte man ihn vermutlich gleich noch ein paar Bilder abmalen lassen und eine Karriere darauf aufgebaut. So blieb es aber bei der einmaligen “prominenten Zeichnung”, einem kleinen Spaß - und einer baldigen Hinwendung zu ernster Betätigung mit Naturwissenschaft, womit er heute immer noch ganz glücklich ist. (Es ist ja immer ganz schön, spaßeshalber mal hinuntersteigen zu können - der Horror von etwa  moderner Kunst, Geisteswissenschaft oder Profischach kommt ja nur zum Tragen, wenn man das Zeug dauernd einkünftehalber betreiben und zwanghaft Bedeutung der hohlen Blasen simulieren muss).

Für mich der stärkste Amateur (zumindest des neuzeitlichen Schachs), und absolut erinnerungswürdig gerade in einer Zeit, wo zuweilen selbst schwache Großmeister glauben, einen Anspruch auf eine spielerische Existenz zu haben. Nachfolgend ein Kurzsieg gegen Marshall aus New York 1927 (der 4. Platz im absoluten Top-Turnier der Zeit dürfte das Glanzlicht seiner Karriere sein).

Marshall,F - Vidmar,M
New York  (3), 1927

1.d4 Sf6 2.Sf3 d5 3.c4 c6 4.cxd5 cxd5 5.Sc3 Sc6 6.Lf4 e6 7.e3 Ld6 8.Lxd6 Dxd6 9.Ld3 0-0 10.0-0

Vidmar ist ja nicht völlig ohne Grund bei vielen als langweiliger, sicherheitsbedachter Remisschieber verrufen (wobei die aktuelle Entwicklung beide verantworten). Insofern passt die Stellung natürlich perfekt. Nicht ganz passt die folgende Aktivität ins Schema. Noch weniger passt, dass sich der mit dem Angriffskünstler-Klischee behaftete Marshall sich hier als Kaninchen erweist. Und am wenigsten glaubhaft ist wohl, dass Schwarz in 11 Zügen schon auf Gewinn steht… 10…e5 Ohne Furcht vor dem Isolani - c8 muss befreit werden. 11.Sb5 De7 12.dxe5 Sxe5 13.Tc1?! Unschön. Konzeptionell ist 13.Sxe5 Dxe5 14.Sd4, was auch die Fesselung vermeidet.  13…Lg4

Oft hat man ja den Eindruck, die alten Meister würden in vielen Positionen ein deutlich tieferes Stellungsverständnis als heutige Auswendiglerner haben - auf Marshall trifft das aber mit Sicherheit nicht in dieser Partie zu.  14.Tc7? Gruselig - gibt freiwillig die Königsruine zu. 14.Le2. 14…Dd8 15.Txb7 Tc7 hängt mittelbar, was also sonst? 15….Sxf3+ 16.gxf3 Lh3 17.Te1 Offenbar noch optimistisch. Im Verteidigungssinne sollte auch das zähe 17.Kh1 erwogen werden - die Qualität ist sowieso dahin. 17…Se4! 18.f4

18…Dh4! Verzichtet auf das Material (18…Sc5 19.b4 Sxb7 20.Dh5 -/+) und geht auf Matt. 19.Lxe4 dxe4 20.Sd4 Tac8 21.Tb5

Natürlich… 21…Tc1! Weiß kann aufgeben. 22.Tg5 Txd1 23.Txd1 Lg4 24.Tc1 h6 0-1  Im Zug vor dem letzten Diagramm überlebt nur 21.De2, aber dann führt die normale Folge 21….Tfd8 22.Tb5 Lg4 23.Df1 Txd4! 24.exd4 Lf3 25.Tc5 Txc5 26.dxc5 Dxf4 27.h3 Dg5+ 28.Kh2 Dxc5  zu einer kuriosen Stellung - Analysediagramm

Weiß ist völlig bewegungsunfähig und sollte auf lange Sicht einfach zusammenbrechen.

Nach einer kurzen Einführung uber die bisherige Rechengeräteentwicklung von Herrn Zuse wird der Unterschied zwischen numerischen und den sog. “logistischen” Rechenmaschinen besprochen. Während die bisher bekannten Rechenmaschinen der Zahlenrechnung dienen, ist das Arbeitsgebiet der logistischen Rechenmaschinen die Lösung schematisch-kombinativer Aufgaben.    Es lässt sich folgende Rangordnung in der Rechengeräteentwicklung aufstellen:

1. Tischrechenmaschinen zur Lösung der arithmetischen Grundoperationen,

2. Programmgesteuerte automatische Rechengeräte mit Speicherwerken usw.,

3. Logistische Rechengeräte,

4. “Künstliches Gehirn”.

Bis zur Stufe 2 ist diese Entwicklung praktisch erprobt. Bei Stufe 3 ist der theoretische Ansatz klargelegt und die praktische Ausführung in absehbarer Zeit möglich. Stufe 4 ist vorerst nicht aktuell.

Die logistische Rechenmaschine arbeitet wie die numerischen Rechenautomaten der Stufe 2 nach Anweisungen, die jedoch auf einem höheren mathematischen Niveau liegen.

Der Unterschied der Arbeitsweise beider Gerätetypen wird an einem Beispiel klargelegt. (Aufgabe: Differentiation. Numerisches Rechengerät löst sie durch schrittweise Errechnung der gesuchten Kurve. Die logistische Rechenmaschine ermittelt die Zeichenfolge der mathematischen Funktion der Ableitung.)

Die Anwendbarkeit des logistischen Gerätes erstreckt sich auf alle Operationen, welche sich in strenge Regeln fassen lassen. Auf mannigfachen Gebieten der Technik und der Wirtschaft liegen derartige schematische Aufgaben vor.

Die Entwicklung des logistischen Rechengerätes erfordert zunächst die Aufstellung eines allgemeinen rechnerischen Kalküls als Voraussetzung fur die konstruktive Lösung. Die Grundlagen hierzu liefert der Aussagen- und Prädikatenkalkül der Logistik. Jedoch müssen erhebliche Abänderungen und Erweiterungen mit diesen Kalkülen vorgenommen werden, um sie den Zwecken des praktischen Rechnens anzupassen; die Logistik hat zum Ziel, implizite Definitionen von mathematischen Sätzen aufzustellen. Rechengeräte hingegen benötigen explizite Anweisungen, welche für die in Frage kommenden Fälle explizit den Weg der Lösung angeben. Diese Forderung wird durch den von Herrn Zuse entwickelten “Allgemeinplankalkül” erfüllt.

Im Allgemeinen Plankalkül wird der Begriff “Rechnen” wie folgt definiert: “Rechnen heisst, aus gegebenen Angaben nach einer Vorschrift neue Angaben bilden”. Eine mathematische Analyse des Begriffs der “Angabe” ergibt, dass sich grundsätzlich alle Angaben aus Ja-Nein-Werten aufbauen lassen. Der Unterschied in Auffassung und Darstellung zwischen dem Formalismus der mathematischen Logik einerseits und dem Allgemeinen Plankalkül andererseits wird an dem Beispiel des Begriffs der “Kohärenz” gezeigt. Der Allgemeine Plankalkül ist in den letzten Jahren von Zuse soweit durchgebildet worden, dass die Voraussetzung zur praktischen Entwicklung logistischer Rechengerate geschaffen ist.    Das bei den numerischen Rechengeräten bewahrte Relaisprinzip kann auch für die logistischen Geräte benutzt werden. Die Geräte werden in einer abstrakten Schaltung entworfen und können von dieser in jede beliebige Relaistechnik überführt werden. Als solche kommen in Frage:

1. Die elektromagnetische Relaistechnik fur Versuchsgeräte,

2. Die mechanische Schaltgliedtechnik fur Seriengeräte,

3. Die mit Elektronenrohren arbeitende Relaistechnik.

Die deutsche Entwicklung auf dem Gebiete der Röhren-Rechengeräte (Dr. Schreyer) ist von Anfang an auf das Relaisprinzip zugeschnitten.

Da die weitere Entwicklung dieses Projektes in mathemalischer Hinsicht eine sehr umfangreiche Aufgabe darstellt, wird eine Zusammenarbeit zwischen wissenschaftlichen und industriellen Stellen angestrebt.

In “Die mathematischen Voraussetzungen für die Entwicklung logistisch-kombinativer Rechenmaschinen” [Z. Angew. Math. Mech. 29, 36-37 (1949; Zbl 0031.03501)] wird wohl die erste höhere Programmiersprache erstmals der breiteren Öffentlichkeit vorgestellt.