Angewandte Mathematik (XI) - Mourir pour racine carrée
Aktuell gibt es mal wieder ein großes Getöse um die Stimmgewichtung im EU-Rat. Natürlich ist ein großer Teil dem Heiligendamm-Muster der ziemlich gleichgeschalteten deutschen Medien zuzuschreiben: Man bauscht zunächst medial die Probleme himmelhoch auf, portraitiert die tapfer kämpfende Angela M. in ihrem hoffnungslosen Kampf, damit man hinterher selbst das offenkundige Scheitern oder einen windelweichen Kompromiss als Riesen-Kanzlerinnen-Erfolg verkaufen kann. Was in dieser Hinsicht beim G8-Gipfel gelaufen ist, hatte schon fast autistische Züge - während er fast überall auf der Welt als Misserfolg gesehen wurde, überboten sich die Medien hierzulande an Lobpreisungen (wir überlassen es Historikern zu Überprüfung, ob es seit den Durchhalte- und Siegesmeldungen 1945 noch einmal größere Diskrepanzen zwischen internationaler und lokalpatriotischer Wahrnehmung gab).
Nun also noch das Treffen zum Abschluss einer (recht trostlosen) deutschen EU-Präsidentschaft. Eines steht auch schon fest - egal was herauskommt, es wird wieder als Erfolg von Angela M. gefeiert werden, und schuld an allen Misserfolgen sind die Polen. Ein wenig ist natürlich sogar dran - die Kaczynski-Brüder üben sich auch bei diesem Thema wieder einmal in hemmungslosem Populismus und bedienen sich alter Muster des übersteigerten polnischen Patriotismus’ - wir allein gegen den Rest, oder wie es in schöner Ironie jetzt zum Schlagwort geworden ist, “Sterben für die Quadratwurzel”.
Kurz zur Erklärung: Die derzeitige Stimmenverteilung nach Nizza-Vertrag (29 Stimmen für “große Länder” wie GB,F,D ,I, 27 Stimmen für P, E etc.) kam bekanntlich als hochgradig fauler politischer Kompromiss zustande und spiegelt fast gar nicht das unterschiedliche Bevölkerungsgewicht wieder. Die vorgeschlagene Alternative der “doppelten Mehrheit” - 55 Prozent der Ratsmitglieder bei 65% der Bevölkerung - überkorrigiert das in die andere Richtung: Unter der Vielzahl der möglichen Mehrheitskombinationen treten bei diesem Modell sehr viele vom Typ “ganz große + ganz kleine Länder” auf (wenige große Länder sorgen schon für die 65%-Bevölkerungsmehrheit und können dann durch billige Zugeständnisse an kleine Länder sich die 55% der Mitglieder sichern). Mathematisch repräsentativ ist dies nicht, sondern wieder ein typischer politischer Kompromiss.
Wie sollte man aber bei der Stimmengewichtung sinnvoll verfahren? Bei der scheinbar demokratischen 1:1-Umsetzung der Bevölkerungszahl bekommen die großen Länder ein übertriebenes Gewicht, wie sich an wenigen Modellrechnungen zeigen lässt (allein die Tatsache, dass formal alle Stimmen dieses Landes im Block abgegeben werden, was natürlich nicht der Situation einer realen Direktabstimmung entspricht, ist ein Vorteil; noch entscheidender ist aber der simple mathematische Fakt, dass ein großer Block noch überproportional oft in möglichen Mehrheitskoalitionen vertreten ist).
Als eine relativ simple mathematische Korrektur dieses Phänomens schlug schon 1946 Lionel Penrose [The elementary statistics of majority voting, J. of the Royal Statistical Society, 109 (1946) 53-57] die Gewichtung der Länderstimmen proportional zur Quadratwurzel ihrer Bevölkerung vor - ein Verfahren, das mathematisch tatsächlich recht sauber fundiert ist und typischerweise eine gute Korrelation der Stimmpunkte (”In wieviel % der möglichen Mehrheitskoalitionen ist das Land vertreten”) mit dem Bevölkerungsgewicht aufweist.
(Richtig, genau der Schachspieler und -komponist Lionel Penrose, uns auch u.a. bekannt als Vater des Fernschach-Champions Jonathan und des Starmathematikers Roger.)
Das Verfahren besticht durch Sauberkeit, Transparenz und Einfachheit und wird nicht umsonst von den meisten Mathematikern propagiert (abgesehen von den Mindeststimmen, wird es ähnlich auch im deutschen Bundesrat praktiziert) - wohingegen es absoluter Unsinn ist, dass es zu einem “überbestimmten Gleichungssystem” führt:
Eine überbestimmte Gleichung ist das Schlimmste, was eigentlich passieren kann.
sagte bekanntlich die Angela M. über dieses Gewichtungsverfahren, wobei man ihr gewünscht hätte, dass sie lieber wie früher in wissenschaftlichen Fragen ihren Mann konsultiert hätte (das Zustandekommen ihrer Promotion und dieser spezielle Aspekt der Frauenförderung in der Wissenschaft wären freilich mal ein eigenes Thema).
Natürlich dürften auch unseren gefährlichen Kartoffeln die mathematischen Feinheiten entgangen sein - sie werden wohl den Vorschlägen ihrer Berater vor allem entnommen haben, dass Polen im Penrose-Modell besser wegkommt. Womit wir paradoxerweise wieder einmal die demokratisch sinnvollsten Regelungen von einer nicht sonderlich demokratischen Regierung vertreten werden - aber das kann schon passieren, wenn man in Mathematik nicht aufpasst.
Auf jeden Fall ist es doch schön, dass endlich mal jemand für die Quadratwurzel (sprich: ein sinnvolles mathematisches Verfahren) sterben möchte. Normalerweise wird der Patriotismus, nicht nur der polnische, für weit sinnlosere Anliegen bemüht.
June 19th, 2007 at 8:21 am
Wenn ich das noch alles richtig im Kopf habe [ich lasse mich gerne korrigieren], hat das stochastische Modell zu Penrose die unrealistische Annahme, dass die Entscheidungen der einzelnen Länder unabhängige 0-1-Entscheidungen sind (waren es sogar 50:50-Entscheidungen?!). Außerdem war es meines Wissens noch ein asymptotisches Resultat.
Die in diesem Modell berechnete Voting Power eines Wählers, die durch die Wahrscheinlichkeit definiert ist, durch seine Stimme die Wahl zu entscheiden [sprich, wenn nur man selbst sich anders entschieden hätte, dann wäre das Ergebnis anders gewesen], berücksichtigt so natürlich keine Koalitionen. So hat dann die “Quadratwurzel” den Effekt, dass bei Auspaltung eines Landes (nehmen wir mal Belgien) das Gewicht dann steigen würde, wenn sie sich zwar untereinander nicht mehr einig sind, aber nach außen eine gemeinsame Meinung haben.
Es ist zwar schön, dass etwas Mathematik ins Spiel kommt, aber ich habe bisher nur gelesen, dass die “Quadratwurzel” mathematisch das Beste wäre, aber Versuche das dahinterliegende Modell zu erklären habe ich nicht gefunden, auch wenn Mathematiker zitiert wurden, wie in http://www.faz.net/s/RubFC06D389EE76479E9E76425072B196C3/Doc~E9B4C2F33E7254DB0867FFDEB18CB6080~ATpl~Ecommon~Scontent.html
June 19th, 2007 at 8:45 am
Danke für den Link und besonders den Kommentar!
Die Koalitionsannahme ist natürlich immer problematisch, aber vielleicht bei der Vielzahl der in der EU zu treffenden Entscheidungen gar nicht so unrealistisch - Deutschland und Frankreich mögen oft in vielen politischen Zielen übereinstimmen, aber haben etwa im Agrarbereich genuin unterschiedliche Ziele usw. Dieser Entkopplungseffekt durch die Vielzahl der Entscheidungsgebiete bringt doch wieder ein Stück Unabhängigkeit.
Die einfachste Lösung wäre in der sehr konkreten Situation “EU” wohl, das Ganze einfach rückwärts aufzuziehen: Man verteilt die Stimmengewichte ad hoc so, dass die resultierende Voting Power den Bevölkerungsanteilen entspricht.
Leider ist das politisch nicht durchsetzbar, weil
1. es ist zwar ein recht leichtes Computerprogramm, aber dennoch schon im Ansatz den Politikern nicht leicht zu vermitteln, und der Bevölkerung schon gar nicht (BILD würde titeln: “Europa jetzt von Computern regiert!”)
2. Die resultierende Lösung ist nicht eindeutig (man müsste sich ohnehin zuvor auf Toleranzgrenzen einigen), und die möglichen Alternativen böten treffliche Streitgrundlagen, die eine Einigung dauerhaft hinausschieben dürften.
June 19th, 2007 at 12:32 pm
Ich habe mir jetzt in meiner Mittagspause auch noch aktuellere Literatur zum Thema angesehen und dabei lustige Sachen entdeckt. So werden in Gelman, Katz and Bafumi, Standard voting power indexes don’t work: an empirical analysis, British Journal of Political Science 34, 657–674 (2004), siehe http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/gelmankatzbafumi.pdf Good and Mayer bzw. Chamberlain and Rothchild zitiert, die Modelle aufgestellt haben, so dass die “übliche” Representation durch Bevölkerungsproporz herauskommt. Für ihre empirischen Daten kommt dagegen nicht Representation entsprechend der Quadratwurzel aus der Bevölkerungszahl, sondern der Bevölkerungszahl^0.9 heraus. Das wäre doch ein schöner Kompromiss, den man sogar noch “verkaufen” könnte. Nicht 1 wie bisher und auch nicht 0.5 wie von den Polen gewünscht, sondern 0.9…
June 19th, 2007 at 7:55 pm
Heute noch eine tröstliche Anekdote, wie der schädliche Medieneinfluss auch vor Mathematikern nicht halt macht: Auf dem Flur der Differentialgeometer wurde genau die Frage “Was ist die Quadratwurzelmethode?” diskutiert, wobei sich herausstellte, dass sie es in den Zeitungen als “geometrisches Mittel aus Bevölkerung und Fläche” (also \sqrt(pop.*area)) verstanden hatten. Das würde Polen freilich noch deutlich stärker entgegenkommen…
Übrigens, Anfang der Diskussion: Einer von ihnen wurde am Nachmittag von ZDF-Leuten aufgegabelt, damit er für die Anmoderation des heute-Journals (21.45 Uhr, Di 19.06) den Begriff “kleinster gemeinsamer Nenner” (für die Verhandlungen der großen Koalition) erklärt. Eine halbe Stunde Mathematikaufnahmen, die sie natürlich noch auf 10 Sekunden zusammenschneiden wollen. Wird bestimmt lustig…
June 19th, 2007 at 8:45 pm
Danke für den Hinweis.
Wirklich köstlich, ich glaube muss heute noch jemanden mit Fernseher besuchen
Bei uns kommt auch jedesmal wieder der MDR ans Institut, wenn es einen Rekordjackpot beim staatlichen Lotteriespiel gibt, aber kleinster gemeinsamer Nenner ist neu!
June 20th, 2007 at 7:35 pm
Anscheinend haben sie es sogar richtig geschnitten und nicht einmal in den unterschiedlichen takes die Seiten kommutativ vertauscht (bei einigen Aufnahmen stand 1/4 + 1/10, bei anderen 1/10+1/4 an der Tafel). Windoof-Nutzer können es wohl unter
mms://ms.mdcs.dtag.de/zdf/zdf/070619_hjo_vh.wmv
sehen, der elitären Bevölkerungsminderheit (Linux und kein Fernseher) geht aber bestimmt nichts verloren.
February 12th, 2008 at 11:14 pm
Liebe Blogleser, ich brauche mal Hilfe bei einem Zitat.
Ich schreibe gerade einen vulgär-wissenschaftlichen Artikel zum Quadratwurzel-Thema und wollte dabei in der Einleitung auch kurz auf die Herkunft des Kaczynski-Zitats eingehen.
‘La racine ou la mort’ ist ja offensichtlich eine Persiflage auf ‘La revolution ou la mort’. Von letzterem Zitat glaubte ich in Erinnerung zu haben, daß es von Danton stammt, bin mir aber absolut nicht sicher. Wenn man bei Google nach ‘Revolution Tod Danton’ oder ähnlichen Kombinationen sucht, bekommt man nur zehntausende Links zum Büchner-Stück, das wohl heute Schulstoff ist.
Kann mir jemand helfen? Wer hat wann warum zu ‘la revolution ou la mort’
aufgerufen?
February 13th, 2008 at 12:45 am
Leider habe ich nur den Kropotkin zur Hand, und dort habe ich gar keinen Bezug zum Zitat gefunden.
1840 charkterisierte allerdings schon Thomas Sedgwick Fay in “The Countess” einen “gigantischen Volksredner”, der sich später als eben Danton erweist, durch die Rede
und auch sonst werden in der Passage die üblichen Klischees aneinandergereiht. Dies spricht zumindest dafür, dass damals schon im öffentlichen Bewusstsein Danton und das Zitat untrennbar verknüpft waren.